Trigonometri – Knoklepokle

Bevis for Pythagoras sætning ved hjælp af arealer

9.5 Arealet af en trekant

Inden beviset for Pythagoras sætning skal vi lige repetere, hvordan man beregner arealet af en trekant, for det bruger man i beviset.

Eksempel: Arealet af to trekanter

Regn opgave 912 – 917

9.6 Et matematisk bevis

Der er flere forskellige måder at bevise Pythagoras sætning. Jeg vil i det følgende vise to metoder, hvor jeg betragter Pythagoras sætning som en sætning om arealer.

Beviser for matematiske sætninger kræver, at man regner med bogstaver. Det skyldes, at hvis vi kun beviser at sætningen gælder med bestemte tal, så gælder sætningen jo kun for netop disse tal. Pythagoras sætning gælder for alle tal i en retvinklet trekant. Det vil jeg vise i det følgende på to forskellige måder, selvom det selvfølgelig er tilstrækkeligt at vise Pythagoras på kun én af måderne.

9.7 Metode 1

Beviset her gennemgås ofte i gymnasier. Det er et matematisk bevis for Pythagoras sætning.

Metode 1: Bevis for Pythagoras sætning

Metode 1: Figur

9.8 Metode 2

Man kan illustrere Pythagoras sætning ved en figur, som jeg først vil forklare, og så vil jeg bagefter bruge figuren uden tern til at bevise Pythagoras sætning.

Forklaring for figuren der viser Pythagoras for sidelængderne 3-4-5

Nu har du forstået figuren, og så kommer jeg til det rigtige bevis, hvor jeg altså ikke bruger tal:

Metode 2: Bevis for Pythagoras sætning

Aktivitet: Bevis Pythagoras

Udvælg én af de to videoer, hvor Pythagoras bevises.

Indøv beviset, så du kan det udenad, og gå bagefter sammen to og to. Den ene af jer gennemgår beviset på et blankt stykke papir uden at kigge i noter, mens den anden kun hjælper, hvis det er nødvendigt.

Bagefter bytter I roller.

Læringsmål

Færdighedsmål

Eleven kan beskrive sammenhænge mellem enkel algebraiske udtryk og geometriske repræsentationer.
Eleven kan skelne mellem enkelttilfælde og generaliseringer.
Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer.

Vidensmål

Eleven har viden om geometriske repræsentationer for algebraiske udtryk.
Eleven har viden om forskel på generaliserede matematiske resultater og resultater, der gælder i enkelttilfælde.
Eleven har viden om enkle matematiske beviser.

Den retvinklede trekant, sinus og cosinus

9.9 Navngivning af siderne

Formlerne for sinus og cosinus gælder kun i retvinklede trekanter, og de bruges til at beregne sider eller vinkler.

Men formlerne for sinus og cosinus, som de står her, skal omskrives, før de kan bruges til noget som helst.

Men lad os med det samme springe ud i en vejledning i at bruge sinus og cosinus. Det første, man skal, er at navngive siderne i den retvinklede trekant.

Trin 1: Navngivning af sider i en retvinklet trekant

Figuren her viser navngivningen – den skal du lære udenad. Husk, at du skal stille dig i vinklen, v, når du navngiver siderne.

Regn opgave 918 – 920

9.10 De fire trin

Jeg har en opskrift, som består af 4 trin, som du skal følge, når du regner med sinus og cosinus. Lad os se på et eksempel:

Jeg bruger de 4 trin til at beregne en side ved hjælp af cosinus

9.11 Find katete med sin eller cos

Du har allerede set et eksempel på, hvordan man beregner en katete i en retvinklet trekant med cosinus og ved hjælp af de 4 trin.

Lad os prøve at se endnu et et eksempel, hvor jeg skal beregne hos eller mod – altså en katete:

Jeg omskrev altså sinus-formlen for at bestemme den modstående katete. Hvis jeg kun regner med bogstaver, får jeg formlen:

Hvis du ikke er så god til at isolere, som jeg er, så kan du bare bruge de 3 første trin, men undgå at isolere i trin 4 ved at sætte direkte ind i fomlen ovenfor: mod=hyp·sin(v).

På samme måde kan jeg regne med bogstaver og få en færdig formel for at finde hos-kateten med cosinus:

Regn opgave 921 – 923

Regn opgave 924 – 926

Regn opgave 927 – 930

9.12 Find hypotenusen med sin eller cos

Nu et lidt sværere eksempel, hvor jeg finder hypotenusen:

I videoen kommer jeg frem til følgende formel for at finde hypotenusen ved hjælp af sinus:

og hvis man skulle lave den samme omskrivning, for at finde hypotenusen ved hjælp af cosinus fås:

Her indsættes til 412

9.13 Find vinkel med sin eller cos

Indtil nu har vi kun beregnet sider i den retvinklede trekant, men hvad hvis vi kender to sider og skal beregne vinklen v.

Det skal altid gøres med den omvendte funktioner af sinus eller den omvendte funktion af cosinus:

Læg mærke til, at du kun skal bruge disse formler, når du skal beregne en vinkel. På lommeregneren finder du den omvendte funktion lige oven over sinus og cosinus – dvs. du skal taste på den grønne “2nd” knap for at få fat på de omvendte funktioner.

Min vejledning med de 4 trin skal stadig bruges, forskellen er, at der blot er to ekstra formler.

Formlerne til at finde vinkler er fremkommet ved at isolere v og ved at bruge de omvendte funktioner til sinus og cosinus:

9.14 Vinkelsummen i en trekant

Du husker nok, at vinkelsummen i en trekant altid er 180 grader.

For den retvinklede trekant, som altså har én vinkel, som er 90 grader, betyder det, at når du har beregnet én vinkel ( f.eks. vinkel A) ved hjælp af sinus eller cosinus, så kan du også beregne den anden spidse vinkel (B) i trekanten:

∠ B = 180 – ∠ A

Nedenfor finder du beviset for, at vinkelsummen i en trekant er 180 grader:

Bevis for vinkelsummen i en trekant

[WpProQuiz 50]

En landmåler bruger trekantsberegninger i sit opmålingsarbejde

Regn opgave 935 + 936

Regn opgave 937

[WpProQuiz 49]

Læringsmål

Færdighedsmål

Eleven kan forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler mellem retvinklede trekanter.
Eleven kan bestemme mål i figurer ved hjælp af formler og digitale værktøjer.
Eleven kan udføre omskrivninger og beregninger med variable.
Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer.

Vidensmål

Eleven har viden om trigonometri knyttet til retvinklede trekanter.
Eleven har viden om metoder til omskrivninger og beregninger med variable, herunder med digitale værktøjer.
Eleven har viden om enkle matematiske beviser.

Tangens og lidt mere om sinus og cosinus

9.15 Bagom sinus og cosinus

Sinus, cosinus og tangens bruges, når man har målet på en vinkel, eller når man skal beregne en vinkel.

Sinus, cosinus og tangens binder sidelængder og vinkler sammen i retvinklede trekanter.

Men hvad sker der, når man taster sin, cos eller tan på lommeregneren.

Sinus og cosinus på lommeregneren og introduktion til enhedscirklen

Sinus og cosinus er defineret ud fra enhedscirklen, som har radius 1. Her vist med et eksempel hvor vinklen er valgt til 70 grader:

9.16 Enhedstrekanten

I enhedscirklen gælder det for den retvinklede enhedstrekant, hvor altså hypotenusen har længden 1, at de to kateter har længderne cos(v) og sin(v). I figuren nedenfor er vinklen på 70 grader, og længderne på kateterne er 0,34 og 0,94 :

Trekanten som er farvet blå i figurene ovenfor kaldes for en enhedstrekant, fordi hypotenusen har længden 1.

Aktivitet: Oplev sinus og cosinus

Nu skal du/I prøve at arbejde med enhedstrekanter og selv bekræfte sammenhængen mellem vinklen v og katetelængderne. Se vejledningen her:

Aktivitet: Prøv selv med sinus og cosinus

9.17 Definition af tangens

En definition i matematikken kan ikke bevises, som en sætning kan. En definition af tangens er en præcis beskrivelse af begrebet tangens.

9.18 Tangens

Indtil nu har vi kun behandlet sinus og cosinus, som begge omhandler hypotenusen.

Tangens omhandler derimod de to kateter. Den ene katete er navngivet mod for modstående og og den anden katete hos for hosliggende.

Aktivitet: Højde bestemmelse med tangens

Se videoen nedenfor om højde måling med tangens.

I skal bruge et båndmål, en lineal, en lommeregner og en vinkelmåler.

I kan selv printe en vinkelmåler fra pdf-filen her: (vinkelmåler i papir) og klistre den fast på et papstykke.

Find en høj bygning, et højt træ eller en vandret afstand med et sigtepunkt, I kan måle på.

Tag eventuelt et billede undervejs for at dokumentere jeres fremgangsmåde, og skriv jeres beregninger ned.

Højdemåling med tangens

Regn opgave 938

Regn opgave 939 – 941

[WpProQuiz 51]

Læringsmål

Færdighedsmål

Eleven kan forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler mellem retvinklede trekanter.
Eleven kan bestemme mål i figurer ved hjælp af formler og digitale værktøjer.
Eleven kan udføre omskrivninger og beregninger med variable.
Eleven kan skelne mellem hypoteser, definitioner og sætninger.

Vidensmål

Eleven har viden om trigonometri knyttet til retvinklede trekanter.
Eleven har viden om metoder til omskrivninger og beregninger med variable, herunder med digitale værktøjer.
Eleven har viden om hypoteser, definitioner og sætninger.

Ensvinklede – og ligedannede trekanter samt den vilkårlige trekant

9.19 Ensvinklede – og ligedannede trekanter

Når to trekanter er ensvinklede, er vinklerne i trekanterne lige store, og de to trekanter er således ligedannede. Det betyder, at de ved forstørrelse eller formindskelse er ens.

Ensvinklede trekanter

Når man beregner sidelængder i ensvinklede trekanter, finder man altid først forstørrelsefaktoren. Forstørrelsesfaktoren beregnes ved at dividere en sidelængde fra den store trekant med den tilsvarende sidelængde i den lille trekantden – vel at mærke to sidelængder som ligger ens i forhold til de ens vinkler i trekanterne. Eksemplet her passer på figuren ovenfor:

Når man har bestemt forstørrelsesfaktoren, kan man forstørre den lille trekant ved at gange sidelængderne med forstørrelsesfaktoren

eller man kan formindske den store trekant ved at dividere sidelængderne med forstørrelsesfaktoren

Aktivitet: Ensvinklede trekanter og højdemåling

Nu skal I prøve at bruge ensvinklede trekanter til at beregne højden af en bygning. Se videoen, inden I går ud.

Højdemåling med ensvinklede trekanter

Gåsetårnet, Vordingborg

Regn opgave 942 – 944

9.20 Ensvinklede trekanter og enhedstrekanten

Nu har du lært om ensvinklede trekanter, og du har lært om enhedstrekanten, der er en retvinklet trekant, der har hypotenuse længden 1.

De to ting kan kombineres, således at hypotenusen kan beregnes i en vilkårlig retvinklet trekant.

Beregn hypotenusen ved hjælp af ensvinklede trekanter

9.21 Deling af en vilkårlig trekant

Den vilkårlige trekant kan deles, så den bliver til to retvinklede trekanter.

Det er nødvendigt at opdele en vilkårlig trekant i to retvinklede trekanter, for sinus, cosinus, tangens og Pythagoras sætning må kun bruges i retvinklede trekanter.

En vilkårlig trekant kan deles ved at indtegne en højde inde i trekanten. En højde i en trekant står vinkelret på grundlinjen. Lad os se på et eksempel:

Eksempel hvor en vilkårlig trekant omdannes til to retvinklede trekanter

[WpProQuiz 52]

Læringsmål

Færdighedsmål

Eleven kan forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler mellem retvinklede trekanter.
Eleven kan bestemme mål i figurer ved hjælp af formler og digitale værktøjer.
Eleven kan udføre omskrivninger og beregninger med variable.
Eleven har viden om ligedannethed.

Vidensmål

Eleven har viden om trigonometri knyttet til retvinklede trekanter.
Eleven har viden om metoder til omskrivninger og beregninger med variable, herunder med digitale værktøjer.

Den retvinklede trekant og Pythagoras sætning

9.1 Pythagoras sætning

9.2 Pythagoras sætning – beregn hypotenuse

9.3 Pythagoras sætning – beregn katete

Aktivitet: Pythagoras og målebånd

9.4 Pythagoras sætning – er trekanten retvinklet?

Aktivitet: Pythagoras 3-4-5

Bevis for Pythagoras sætning ved hjælp af arealer

9.5 Arealet af en trekant

9.6 Et matematisk bevis

9.7 Metode 1

9.8 Metode 2

Aktivitet: Bevis Pythagoras

Den retvinklede trekant, sinus og cosinus

9.9 Navngivning af siderne

9.10 De fire trin

9.11 Find katete med sin eller cos

9.12 Find hypotenusen med sin eller cos

Her indsættes til 412

9.13 Find vinkel med sin eller cos

9.14 Vinkelsummen i en trekant

Tangens og lidt mere om sinus og cosinus

9.15 Bagom sinus og cosinus

9.16 Enhedstrekanten

Aktivitet: Oplev sinus og cosinus

9.17 Definition af tangens

9.18 Tangens

Aktivitet: Højde bestemmelse med tangens

Ensvinklede – og ligedannede trekanter samt den vilkårlige trekant

9.19 Ensvinklede – og ligedannede trekanter

Aktivitet: Ensvinklede trekanter og højdemåling

9.20 Ensvinklede trekanter og enhedstrekanten

9.21 Deling af en vilkårlig trekant