Sammenhænge, formler og grafer

Du er her: / Sammenhænge, formler og grafer

Sammenhæng eller ej

7.1 Når der er en sammenhæng

En graf i et koordinatsystem beskriver en sammenhæng mellem en størrelse på x-aksen og en størrelse på y-aksen.

Når der er en sammenhæng

Når der er en sammenhæng

I videoen fortæller jeg, at der er en sammenhæng mellem alder og højde af børn. Det kan man få en idé om ved at se på en graf, der viser alder på x-aksen og højde på y-aksen.

7.2 Når der ikke er en sammenhæng


Når der ikke er en sammenhæng

Når der ikke er en sammenhæng

Andre gange er der bare ikke nogen sammenhæng, og der er ikke nogen graf, men bare spredte usammenhængende punkter.

Kilde: UN office of drugs and crime

Klik på figuren for forstørrelse. Kilde: UN office of drugs and crime


Det er ikke altid, at der er en sammenhæng mellem pris og kvalitet. Men hvad i tilfældet med tatoveringerne på billedet. Er der en sammenhæng mellem pris og kvalitet? – og hvad betyder det egentligt?

Pris og kvalitet

 Klik på billedet for forstørrelse

7.3 Kender du nogle sammenhænge

Man kan tegne grafer over det meste, man skal bare have to variable nemlig x og y.

Når du kaster med en bold, kan man tegne en graf over boldens bane. Man siger, at man tegner en graf over højden som funktion af længden.


Fra dansk timen har du måske stødt på berettermodellen. Den viser, at spændingen i en historie afhænger af tiden.


Regn opgave 701 – 705



[WpProQuiz 57]


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan afgrænse problemstillinger fra omverdenen i forbindelse med opstilling af en matematisk model.

Vidensmål

  • Eleven har viden om strukturering og afgrænsning af problemstillinger fra omverdenen.
  • Eleven har viden om repræsentationer for ikke-lineære funktioner.

I skal undersøge sammenhænge

7.4 Nu skal I finde sammenhænge


Aktivitet: Film bevægelser og undersøg sammenhænge

I skal filme bevægelse med et kamera. I kan også bruge en tablet eller smartphone, men kun hvis du kan få fat i filen bagefter, for den skal bruges i et program, hvor I kan lede efter sammenhænge.


I det følgende kan I blive klogere på, hvad fremgangsmåden er.

Før I går i grupper, og finder sammenhænge I kan filme, så se nogle vigtige regler for, hvordan I filmer i videoen: “Regler inden I laver video optagelser”.


Når I kommer tilbage, skal I se videoen “At tegne grafer for sammenhænge i TRACKER”.

Kig på graferne som TRACKER tegner for jer. Hvad er x og hvad er y? Prøv at forklar for hinanden, hvorfor graferne har netop det forløb, de har.



Regler for film optagelser

Regler inden I laver video optagelser

Regler inden I laver video optagelser


Installation af programmet TRACKER

Når I har filmet, skal I have jeres videooptagelser ind i et program, der kan tegne grafer over sammenhænge for jer. TRACKER kan findes på www.opensourcephysics.org. I videoen her nedenfor er en vejledning til, hvordan man gratis installerer programmet TRACKER:

Installation af gratis programmet TRACKER

Installation af gratis programmet TRACKER


Databehandling i TRACKER

Nu skal I så databehandle på computeren i programmet TRACKER. Se vejledningen og følg med på jeres egen computer samtidigt.

At tegne grafer for sammenhænge i TRACKER

At tegne grafer for sammenhænge i TRACKER

7.5 Forsøg med tyngdekraft


Aktivitet: Tyngdekraftforsøg

Her skal I først lave et lille forsøg, og bagefter lære at bruge Geogebra eller Excel til at tegne grafer i.

Prøv at udføre forsøget forklaret i videoen nedenfor – I har brug for en kraftmåler fra fysik. Med et kraftmåler kan I aflæse tyngdekraften.

Vejledning til øvesen der viser sammenhængen mellem tyngdekraft og masse

Vejledning til øvelsen der viser sammenhængen mellem tyngdekraft og masse

I følgende video gennemføres forsøget og forsøgsdata vises. Hvis du ikke selv har mulighed for at gennemfør forsøget, kan du bruge mine forsøgsdata og selv tegne grafen.

Tyngdekraft

Tyngdekraft


Klik på billedet for at se en opsendelse af Space shuttle Atlantis, NASA.

7.6 Efterbehandling af i Geogebra og Excel


Geogebra

Det er vigtigt at kunne tegne en graf for en ret linje i et koordinatsystem. Det viser jeg her, hvordan man gør i Geogebra, med data fra tyngdekraftforsøget:

Tyngdekraft databehandling i Geogebra

Databehandling af Tyngdekraft forsøg i Geogebra


Excel

Det er vigtigt at kunne tegne en graf for en ret linje i et koordinatsystem. Det viser jeg her, hvordan man gør i Excel, med data fra tyngdekraftforsøget:

Databehandling af Tyngdekraft forsøg i Excel

Databehandling af Tyngdekraft forsøg i Excel


Tyngdeaccelerationen

Måske kan I tale med jeres fysiklærer om tallet 9,9, som jeg fik i videoen, da jeg bad programmet om at få bestemt min ligning eller forskrift, som det hedder.

Det er nemlig ikke et helt tilfældigt tal – det kaldes for tyngdeaccelerationen og forkortes med bogstavet g for gravity, og her på jorden er det en konstant på ca. 9,82 Newton/kg.

Tyngdekraftens proportionalitet

Tyngdekraftens proportionalitet


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan afgrænse problemstillinger fra omverdenen i forbindelse med opstilling af en matematisk model.
  • Eleven kan gennemføre modelleringsprocesser, herunder med inddragelse af digital simulering.
  • Eleven kan anvende lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og funktioner.

Vidensmål

  • Eleven har viden om strukturering og afgrænsning af problemstillinger fra omverdenen.
  • Eleven har viden om elementer i modelleringsprocesser og digitale værktøjer, der kan understøtte simulering.
  • Eleven har viden om repræsentationer for lineære funktioner.
  • Eleven har viden om muligheder og begrænsninger ved forskellige hjælpemidler.

Ligefrem proportionalitet

7.7 Hvad er ligefrem proportionalitet

Du har allerede set et eksempel på en ligefrem proportional sammenhæng nemlig sammenhængen mellem massen af genstande og tyngdekraften.

Man kan se, at det er en ligefrem proportional sammenhæng, fordi grafen er en ret linje, og fordi grafen går gennem punktet (0,0) i koordinatsystemet.

Grafen er er ret linje, fordi tyngdekraften hele tiden vokser med den samme værdi. Hver gang man hænger endnu et kilo på kraftmålerens krog, så stiger tyndekraften med 9,9 Newton i vores forsøg. I virkeligheden er værdien 9,82 Newton per kilo.

Det gælder for de to ligefrem proportionale størrelser, at når massen fordobles, så fordobles også tyngdekraften, og når massen firedobles, så firedobles også tyngdekraften og så videre.

Når man siger at to størrelser er proportionale, mener man at sige, ligefrem proportionale.


I 2.g i gymnasiet har man også om ligefrem proportionalitet. I videoen kan du se en eksamensopgave, hvor jeg finder proportionalitetsfaktoren ud fra en tabel.


Regn opgave 706
Regn opgave 707
David Beckham

Højde: 1,83 m
Vægt: 75 kg
BMI (Body Mass Index): 22,4

Et eksempel på en ligefrem proportional sammenhæng.

Et eksempel på en ligefrem proportional sammenhæng.

David Beckham’s BMI udregnes efter formlen:

Det er en ligefrem proportional sammenhæng, fordi den opfylder ligningen .

BMI er en enkel måde til at vurdere voksnes vægt:

Beregn dit BMI her.

7.8 Sammenhæng; Radius og omkreds

Aktivitet: Radius og omkreds.

Nu skal du arbejde i Geogebra. Du skal undersøge, om der er en sammenhæng mellem radius og omkreds af en cirkel. Se vejledningen i videoen nedenfor, og gennemfør øvelsen i Geogebra selv. Måske skal du se vejleningen flere gange eller undervejs.

Øvelse: Vis sammenhængen mellem radius og omkreds i en cirkel ved hjælp af Geogebra.

Øvelse: Vis sammenhængen mellem radius og omkreds i en cirkel ved hjælp af Geogebra.


Efterbehandling; Radius og omkreds

Når du har tegnet grafen, kan du se, at det er en ret linje. Det betyder, at der er en sammenhæng mellem x og y altså mellem radius og omkreds. Du fik også Geogebra til at bestemme ligningen for grafen. I følgende video forklarer jeg mere om sammenhængen og ligningen.

Efterbehandling

Efterbehandling

[WpProQuiz 20]


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan bestemme mål i figurer ved hjælp af formler og digitale værktøjer.
  • Eleven kan gennemføre modelleringsprocesser, herunder med inddragelse af digital simulering.
  • Eleven kan anvende lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og funktioner.

Vidensmål

  • Eleven har viden om formler og digitale værktøjer, der kan anvendes ved bestemmelse af omkreds, areal og rumfang af figurer.
  • Eleven har viden om elementer i modelleringsprocesser og digitale værktøjer, der kan understøtte simulering.
  • Eleven har viden om repræsentationer for lineære funktioner.

I skal undersøge ligefrem proportionalitet

7.9 Sammenhæng; Tid og vandmængde

Man kan måle vandflow. Vandflow er et mål for, hvor meget vand der løber per tid. Rigtig mange steder i vores hverdag har vi pumper, der pumper vand op og hen, og det er derfor nødvendigt at kende vandflow og tilpasse pumperne. Det kan være den vandmængde, der skal pumpes i et akvarie for at ilte vandet, eller den vandmængde der skal pumpes op på 4. sal fra regnvandsopsamling til udskyl i toiletter.


Aktivitet: Måling af vandflow til bestemmelse af fyldningstid.

Øvelsens formål er at måle vandflow i vandslangen. Selvom I måske ikke selv få lov at lave øvelsen, kan I godt lave databehandlingen bagefter med vores data, som står sidst i videoen.

Fylde flasker for at finde en sammenhæng

Fylde flasker for at finde en sammenhæng og bestemme vandflow


Bagefter er øvelsens formål at bruge kendskabet til vandslangens vandflow, til at bestemme hvor lang tid det tager at fylde et akvarium. Vi kontrollerer selvfølgelig, om beregningen passer.

Aktivitet Fyld flasker og akvarie

 Fyld akvarie, og brug vandflow til at bestemme tiden det tager

“Vandslange” på dansk kan bestemt ikke oversættes direkte til engelsk som “watersnake” – det hedder en “water hose”. På billedet ser du nemlig en watersnake 🙂

7.10 Excel efterbehandling

… af øvelsen med fyldning af flasker.

Selvom I ikke har udført forsøget, kan I godt lave efterbehandlingen med vores data.

Her skal I lære, hvordan man tegner en graf ud fra målingerne i øvelsen. Du vælger selv, om du følger vejledningen i Excel eller Geogebra.

Tegning af graf i Excel
Fyldning af flasker i Excel

Fyldning af flasker i Excel

Nu skal I bruge grafen til at forudsige, hvor lang tid det tager at fylde et akvarie – selvom det kunne være lidt sjovere at få lov at fylde en swimmingpool.

Akvariefyldning i Excel

Akvariefyldning i Excel

Tegning af graf i Geogebra
Fyldning af flasker i Geogebra

Fyldning af flasker i Geogebra

Nu skal I bruge grafen til at forudsige, hvor lang tid det tager at fylde et akvarie – selvom det kunne være lidt sjovere at få lov at fylde en swimmingpool.

Fyldning af akvarie i Geogebra

Akvariefyldning i Geogebra


Niagara Falls er vandfald mellem Canada og USA.

Det canadiske hestesko vandfald har en længde på knap 800 meter og en højde på ca. 50 meter.

Der fosser ca. 2,3 mio. liter vand ud over kanten af vandfaldet hvert sekund.

Du kan se live billeder og flere facts fra Niagara Falls her.


[WpProQuiz 58]


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan afgrænse problemstillinger fra omverdenen i forbindelse med opstilling af en matematisk model.
  • Eleven kan gennemføre modelleringsprocesser, herunder med inddragelse af digital simulering.
  • Eleven kan anvende lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og funktioner.

Vidensmål

  • Eleven har viden om strukturering og afgrænsning af problemstillinger fra omverdenen.
  • Eleven har viden om elementer i modelleringsprocesser og digitale værktøjer, der kan understøtte simulering.
  • Eleven har viden om repræsentationer for lineære funktioner.
  • Eleven har viden om muligheder og begrænsninger ved forskellige hjælpemidler.

Omvendt proportionalitet

Klik på billedet for at forstørre

7.11 Eksempler

Når elastikken bliver længere, bliver diameteren mindre.

Jo mindre solstråleareal des større temperatur.

Jo langsommere godstoget kører, des bedre trækker det.

Jo højre luftlag des mindre lufttryk.

Alle eksempler på omvendt proportionale sammenhænge.

Hyperbel

For en omvendt proportional sammenhæng gælder, at x≠o for at undgå, at der står 0 i nævneren i forskriften:

Grafen for en omvendt proportional sammenhæng kaldes en hyperbel.

Der er to hyperbel grene. Den grønne er når x er positiv. Den røde er når x er negativ.

7.12 Regneeksempel

Tegn grafen for en omvendt proportional sammenhæng

Tegn grafen for en omvendt proportional sammenhæng

Jo højere fart et godstog har des mindre trækkraft. Den ene variabel er godstogets fart i km/t, og den anden variabel er godstogets trækkraft målt i tons.

At en størrelse er en variabel betyder, at størrelsen kan variere – altså ændre sig.

Opgaven er en gammel problemregningsopgave fra 9. klasses eksamen.

7.13 Bestem proportionalitets-faktoren

Hvis man navngiver sine variable x og y, så kan man beregne proportionalitets-faktoren, k, ved:

k = x · y
Beregn proportionalitets-faktoren og udfyld en tabel

Beregn proportionalitets-faktoren og udfyld en tabel

Regn opgave 708
Regn opgave 709

[WpProQuiz 21]


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan anvende lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og funktioner.

Vidensmål

  • Eleven har viden om repræsentationer for lineære funktioner.

Andengradspolynomier og parabler

7.14 Forskrift og graf

Matematik bruges til at opstille matematiske modeller, som passer på virkeligheden. Det kan være en skrå kastebue, man ønsker at kende en formel for, så man kan regne sig frem til sammenhørende værdier for længde og højde.

Andengradspolynomier som modeller på virkeligheden.

Andengradspolynomier som modeller på virkeligheden.

Storebælts broen er en hængebro, hvor formen af kablet i den midterste sektion kan beskrives ved en parabel.

Storebælts broen er en hængebro, hvor formen af kablet i den midterste sektion kan beskrives ved en parabel.

Aktivitet: Undersøg graferne og bestem betydning af a,b og c

Se videoen og gennemfør ved brug af Geogebra en undersøgelse af konstanterne a,b og c’s betydning for hvordan parablen ser ud. Skriv ned hvad du/I finder ud af.

Hvad betyder konstanterne a,b og c for parablens udseende?

 Aktivitet: Hvad betyder konstanterne a,b og c for parablens udseende?


Grafen for det mest simple andengradspolynomium.

Grafen for det mest simple andengradspolynomium.

7.15 Eksempler

Grafen for et andengradspolynomium har sit helt eget navn – nemlig en parabel. En parabel kan være smal, bred, vende benene opad eller nedad, og så vil en parabel altid skære y-aksen, men den vil ikke altid skære x-aksen.

Fælles for alle parabler er, at de alle har et toppunkt, hvor grafen vender.

Eksempler på forskellige Andengradspolynomier og deres grafer.

Eksempler på forskellige Andengradspolynomier og deres grafer.


Regn opgave 710
Regn opgave 711


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan anvende ikke lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer.
  • Eleven kan planlægge og gennemføre problemløsningsprocesser.

Vidensmål

  • Eleven har viden om repræsentationer for ikke-lineære funktioner.
  • Eleven har viden om elementer i problemløsningsprocesser.