Ligninger, uligheder og tal

Du er her: / Ligninger, uligheder og tal

Tal og regning


2.1 Talmængder

Naturlige tal, N, Hele tal, Z, Rationale tal, Q, Reelle tal, R.

Talmængder

Talmængder



Regn opgave 201

2.2 Ti-tals potenser

Ti-tals potenser er en smart måde at skrive meget store eller meget små tal.

Decimaltal og titals potenser

Eksempler:

2.369 = 2,369·103

68.590.000 = 6,859·107

0,0000319 = 3,19·10-5

0,0005002 = 5,002·10-4

Når man skriver store eller små tal ved hjælp af ti-tals potenser, kan man i stedet for at skrive ti-tals potensen skrive et præfiks.

Regn opgave 202 – 204
Regn opgave 205 – 207

2.3 Præfikser

Du kender præfikser fra meter og kilometer eller gram og kilogram. Hvis man har 3000 m til skole, kan det skrives som 3·103 m, men da 103 ifølge tabellen har præfikset k, kan man i stedet skrive 3 km. Måske kender du tera eller giga fra harddisk hukommelser, og måske nano fra bølgelængder for synligt lys.

Præfikser. Angiver det bogstav vi kan sætte i stedet for en titals potens.


Regn opgave 208


Aktivitet: Størrelsesforhold i Universet

Prøv at se, hvordan præfikser bliver brugt i naturvidenskaben: Gå ind på

Størrelsesforhold i Universet 

(Vær opmærksom på, at animationen kan være langsom at hente)

Zoom ind og ud, og klik på de enkelte elementer. Læs, og bemærk præfikser.


2.4 Regningsarternes hierarki

Regningsarternes hierarki

Det er ikke ligemeget, i hvilken rækkefølge man regner et regnestykke.

Det kan også nogle gange skabe problemer, hvis man hovedløst taster ind på sin lommeregner. Det kan løses ved, at det, der skal udregnes først, skrives i parentes.

Regningsarternes hierarki

Regningsarternes hierarki


Regn opgave 209 + 210


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan anvende potenser.
  • Eleven kan argumentere for valg af matematisk repræsentation.

Vidensmål

  • Eleven har viden om regningsarternes hierarki.
  • Eleven har viden om irrationale tal.
  • Eleven har viden om potenser.
  • Eleven har viden om styrker og svagheder ved repræsentationer, der udtrykker samme matematiske situation.

Brøkregning

2.5 Forkort og forlæng en brøk

Når man dividerer en brøk i tæller og nævner, hedder det at forkorte brøken. Det er tilladt, fordi det ikke ændrer forholdet mellem tæller og nævner, og det dermed ikke ændrer brøken.

Forkort en brøk

Når man ganger en brøk i tæller og nævner, hedder det at forlænge brøken.

Regn opgave 211 + 212

2.6 Addition og subtraktion af brøker

Når man skal lægge to brøker sammen, er det ofte nødvendigt at forlænge brøkerne. Det kræves nemlig, at man har samme nævner, for at de to brøker kan lægges sammen (adderes) eller trækkes fra hinanden (subtraheres).

Forlæng en brøk

Forlæng en brøk

Forlæng og sæt på fælles brøkstreg

Forlæng og sæt på fælles brøkstreg

Addition, subtraktion og gange.

Addition, subtraktion og gange.


Regn opgave 213 – 216

2.7 To brøker ganges

Når I arbejdet med matematik, er det nødvendigt, at lære meget udenad. Én af de remser, du skal lære dig udenad, er, at to brøker ganges ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.

To brøker ganges sammen

Regn opgave 217
Regn opgave 218

2.8 Division af to brøker

Division af to brøker

En anden regel, du skal lære udenad, er, at to brøker divideres ved at gange med den omvendte.

Regn opgave 219 – 221

2.9 Brøkregningen i oversigtsform

Hvis man vil repetere hele brøkregningen ganske kort, så kan brøkregningen ses her i oversigtsform:

Al brøkregning i én video


Regn opgave 222 + 223


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan udføre sammensatte beregninger med rationale tal.
  • Eleven kan anvende reelle tal.

Vidensmål

  • Eleven har viden om regler for regning med reelle tal.

Reduktion og parenteser

2.10 At gange ind i en parentes

Tallet udenfor parentesen skal ganges med alle led inde i parentesen.

At gange ind i parentes

At gange ind i parentes

Når du ganger sammen, så husk altid at gange fortegnene med.

Minus-parentes

Minus-parentes

Minus-parentes

Regn opgave 224 + 225
Regn opgave 226 + 227

2.11 At sætte udenfor parentes

Når man kan gange ind i en parentes, så kan man også sætte udenfor en parentes.

At sætte uden for parentes


Regn opgave 228 + 229

2.12 At gange to parenteser

Alle led skal ganges sammen, og husk hele tiden at regne med fortegn, så går det aldrig galt 🙂

To parenteser ganges sammen (med kontrol)

To parenteser ganges sammen (med kontrol)


To parenteser ganges sammen

Regn opgave 230
Regn opgave 231


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan udføre omskrivninger og beregninger med variable.
  • Eleven kan sammenligne algebraiske udtryk.

Vidensmål

  • Eleven har viden om metoder til omskrivninger og beregninger med variable.
  • Eleven har viden om notationsformer, opstilling og omskrivning af udtryk med variable.

Ligninger

2.13 Hvad er en løsning?

Når man skal løse en ligning, så gælder det om at isolere x og dermed finde en løsning. Men hvad betyder det, at noget er en løsning til en ligning?
Svaret er, at hvis et tal er en løsning til en ligning, så betyder det, at tallet indsat i ligningen gør ligningen sand.

Hvad er en løsning til en ligning?

Hvad er en løsning til en ligning?

Det er de samme regneregler, man benytter, når man løser ligninger, som når man reducerer.

Hvad er så forskellen på at reducere og på at løse en ligning?

Reduktion eller ligningsløsning.

Reduktion eller ligningsløsning.


Regn opgave 232
Regn opgave 233

2.14 Om at isolere x

Når man løser ligninger, handler det altid om at isolere x. I skal aldrig mere gætte jer frem til en løsning til en ligning – det er forbudt.

I isolerer x ved at samle x’erne på den ene side og tallene på den anden side af lighedstegnet, men følg de regneregler I har lært, og gør altid det samme på begge sider af lighedstegnet.

Eksempler på ligningsløsning

Eksempler på ligningsløsning


Eksempler på ligningsløsning

Eksempler på ligningsløsning

Når man møder minusparenteser, skal man huske, at gange ind med fortegn:

Eksempel med minusparentes i ligningsløsning

Eksempel med minusparentes i ligningsløsning


Regn opgave 234 + 235
Regn opgave 236 + 237

2.15 Om at isolere x og gøre prøve

Man kan også kontrollere, om den løsning, man er kommet frem til, er korrekt. Det kan man gøre ved at gøre prøve.

Gange ind i parentes

Gang ind i parentes, isoler x og gør prøve


Gang ind i parenteser, isoler x og gør prøve


2.16 Parenteser i anden potens

Hvis du møder en parentes i anden potens i en ligning, så skal du starte med at udregne parentesen og huske at (a+b)²=(a+b)(a+b), og så er det bare to parenteser, der skal ganges sammen.

Ligninger med parenteser i anden potens

Ligninger med parenteser i anden potens


Ligning med parentes i anden potens

Ligning med parentes i anden potens


Regn opgave 238
Regn opgave 239


Brøkregning

Man har papyrus tidsfæstet til ca. 1650 før vor tidsregning, som er en meget vigtig kilde til vores viden om ægyptisk matematik. Ægypterne var tidlige med brøkregning og regnede med stambrøker, som er brøker, der har tallet 1 som tæller.

Læs mere om matematikkens historie på Videnskab.dk her

2.17 Ligninger med brøker

Brøker er besværlige i ligninger. Derfor kan det nogle gange være en god ide at skaffe sig af med dem i ligningen. Man kan f.eks. skaffe sig af med brøken ¼ i en ligning ved at gange med 4 på begge sider af lighedstegnet. Det skyldes, at ¼·4=1. Og hvis man ganger alle led med 4 på begge sider af lighedstegnet, så må man godt.


Brøker i en ligning


Brøker i en ligning


Brøker i en ligning


Regn opgave 240
Regn opgave 241 + 242


2.18 Når x står i nævneren

Når man skal løse en ligning, består opgaven i at isolere x, men det betyder også, at x ikke må stå nede i nævneren. Hvis x derfor på nogen måde indgår i nævneren, så må man gange alle led på begge sider af lighedstegnet med denne nævner for at undgå x i nævneren.

Ligning med x i nævneren

Ligning med x i nævneren


Ligning med (x+1) i nævneren

Ligning med (x+1) i nævneren


Regn opgave 243
Regn opgave 244


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan udvikle metoder til løsninger af ligninger.
  • Eleven kan udføre omskrivninger og beregninger med variable.

Vidensmål

  • Eleven har viden om strategier til løsning af ligninger.
  • Eleven har viden om ligningsløsning.

Uligheder

2.19 Eksempel og regler for uligheder

Metoderne til at løse uligheder er næsten de samme som for at løse ligninger, men man kan ikke gøre prøve på samme måde som for en ligning, da løsningen for en ulighed er et interval og ikke én værdi.

Løsning af en ulighed med kontrol af løsningsmængden

Der er en vigtig regel i løsningen af uligheder:

2.20 Hvorfor ulighedstegnet skal vendes

Her kan du se, hvor galt det går, hvis man ikke husker at vende ulighedstegnet, når man ganger eller dividerer med et negativt tal.

Hvorfor reglen om at vende ulighedstegnet?

Eksempel hvor ulighedstegnet vendes:

Eksempel hvor ulighedstegn vendes, fordi der divideres med et negativt tal.


Regn opgave 245
Regn opgave 246 + 247


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan opstille og løse ligninger og enkle uligheder.
  • Eleven kan udvikle metoder til løsninger af ligninger.
  • Eleven kan udføre omskrivninger og beregninger med variable.

Vidensmål

  • Eleven har viden om strategier til løsning af ligninger.
  • Eleven har viden om ligningsløsning.