Statistik

Du er her: / Statistik

Hvad er statistik

5.1 Hvad er statistik

Statistik handler om at placere data i kategorier, simplificere og fortælle en historie.

Hvad er statistik

Hvad er statistik

I statistik indsamles data, og de indsamlede data gøres overskuelige og vurderes. Det kan man gøre ved at ordne data i tabeller og ved at tegne forskellige diagrammer, hvilket du skal lære her.

Man kan for eksempel undersøge:

  • Hvor langt eleverne har til skole
  • Aldersfordelingen blandt skolens lærere
  • Antal øjne ved kast med en terning
  • Antal medlemmer i familien hos eleverne i klassen
  • Tid biler parkerer på en parkeringsplads
  • Konditallet for elever i 8. klasse

5.2 To slags observationer

Hvad er kategoriserede observationer og sammenhængende observationer?

Hvad er kategoriserede observationer og sammenhængende observationer?

En observation er den størrelse, man undersøger. Hvis man vil undersøge, hvor mange der kører over for rød, gul og grøn i et lyskryds, så er observationerne rød,gul og grøn.

Man kan skelne mellem to slags observationer:

  • Kategoriserede observationer : Observationer som i sig selv udgør en kategori – eksempelvis rød/gul/grøn eller plat/krone eller 1/2/3/4/5, ja/nej eller 7-trins karakterskala.
  • Sammenhængende observationer: Observationer som hænger sammen – eksempelvis målinger som højde-, temperatur- eller tidsmålinger.
Regn opgave 501


Danmarks Statistik er den centrale myndighed for dansk statistik og er en statslig institution i Økonomi- og Indenrigsministeriet. Der er ca. 550 medarbejdere, og deres opgave er at indsamle, bearbejde og offentliggøre statistiske oplysninger om det danske samfund.

5.3 Grupperede – og ikke grupperede observationer

Hvis det indsamlede data-sæt bliver meget stort, så grupperer man observationerne. Man inddeler altså observationerne i intervaller. Men man skal vide  én ting, når man grupperer – man mister oplysninger.

Både kategoriserede- og sammenhængende observationer kan på den ene eller anden måde grupperes, men hvornår og hvordan skal du først lære om senere. Vi starter med at se på ikke grupperede observationer.

Man mister information når man grupperer observationer

Man mister information, når man grupperer observationer


Regn opgave 502
Danske skoleelever forbrug af spil

Statens Institut for Folkesundhed har lavet Skolebørnsundersøgelsen 2014, hvor det fremgår, hvor stor en procentdel af skoleelever i forskellige aldersgrupper der spiller mindst 4 timer om dagen på hverdage.

Sådanne undersøgelser bliver ofte refereret af én avis, hvorefter alle andre medier følger efter.

Læg mærke til, at børnene er grupperet efter både alder og køn, fordi det ellers vil blive uoverskueligt.

Heldigvis har man valgt at lave en gruppering på køn – altså drenge og piger hver for sig.

Havde man lavet én stor grupperinger, så ville man miste informationer, og man ville ikke kunne se forskellen på piger og drenges spil tid.


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan argumentere for valg af matematisk repræsentation.

Vidensmål

  • Eleven har viden om stikprøveundersøgelser og virkemidler i præsentation i data.
  • Eleven har viden om afsender og modtager forhold i faglig kommunikation.

Ikke grupperede observationer

Tabeller, ikke grupperede observationer

5.4 Observationer og hyppigheder

Observation og hyppighed

Observation og hyppighed

Den størrelse, man undersøger, kalder man observationen. Hvis man eksempelvis undersøger, hvor mange stjerner en klasse giver en film efter at have været i biografen, så er observationerne antallet af stjerner 1,2,3 og 4.

Hvis 7 elever gav filmen 3 stjerner, så er hyppigheden 7 – altså det tal, der siger, hvor hyppigt observationen 3 stjerner forekommer.

Regn opgave 503 – 505

5.5 Frekvens

Frekvens er hyppigheden angivet i procent. Altså et mål for hvor hyppigt en observation forekommer målt i procent.

Frekvens

Frekvens


Regn opgave 506 – 511



Diagrammer, ikke grupperede observationer

5.6 Arealdiagram eller cirkeldiagram

Cirkeldiagram

Cirkeldiagram

Et cirkeldiagram kræver, at man omregner frekvenser angivet i procent til grader.

En hel cirkel er 360º, hvilket svarer til 100%.

Det vil sige, at 1% svarer til

Husk derfor: Gang frekvensen (angivet i %) med 3,6, når du skal beregne, hvor mange grader det svarer til i cirkeldiagrammet.

Hvordan man omregner cirkeldiagram til frekvenser?

Hvordan man omregner cirkeldiagram til frekvenser?

Andre gange skal man regne den anden vej. Hvis man eksempelvis har  et cirkeldiagram, der viser, hvordan elevernes kæledyr fordeler sig. Her ville det være rart, også at vide hvordan den procentvise fordeling er – altså frekvensen af de enkelte dyr.

Når man skal fra cirkeldiagram til frekvens angivet i %, så skal man den anden vej end før. Derfor skal man nu dividere gradtallet med 3,6.

Derfor: Det målte gradtal i cirkeldiagrammet divideres med 3,6, når du skal beregne frekvensen angivet i %.

Hvordan tegner man et cirkeldiagram i Geogebra

Hvordan tegner man et cirkeldiagram i Geogebra



Regn opgave 512 – 5147

5.7 Søjlediagram

Søjlediagram kaldes også pindediagram eller stolpediagram, men det er det samme. Søjlediagrammet viser observationerne angivet på x-aksen og enten hyppigheder eller frekvenser angivet på y-aksen.

Hvordan tegner man et søjlediagram

Hvordan tegner man et søjlediagram


Søjlediagram

Søjlediagram



Danmarks Statistik har i “Danmark i tal 2015” kigget på årgang 2000. Børn født i år 2000 er blevet 15 år gamle i år 2015. I søjlediagrammet nedenfor, kan du se, hvor mange søskende unge 15-årige anno 2015 bor sammen med.

Klik på billedet for forstørrelse

Jeg foretrækker at tegne søjlediagrammer med frekvens ud af y-aksen, fordi man derved bedre kan sammenligne med andre søjlediagrammer.

Hvis man skal sammenligne søjlediagrammer

Hvis man skal sammenligne søjlediagrammer


Regn opgave 516 – 519

5.8 Summerede frekvens og trappediagram

For at kunne tegne et trappediagram, skal man beregne den summerede frekvens. Sum betyder at lægge tal sammen, og når du beregner den summerede frekvens, så skal du lægge frekvenserne sammen. Én efter én lægges de sammen og skrives i en kolonne “summerede frekvens”, indtil alle frekvenserne summeret giver 100%.

Dernæst tegnes et koordinatsystem med observationerne på x-aksen, og de summerede frekvenser på y-aksen, og de sammenhørende værdier for observation og summeret frekvens afsættes som punkter og forbindes med en trappe til sidst.

Regn opgave 520
Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan vælge relevante deskriptorer og diagrammer til analyse af datasæt.
  • Eleven kan undersøge sammenhænge i omverdenen med datasæt.
  • Eleven kan kritisk vurdere statistiske undersøgelser og præsentationer af data.
  • Eleven kan argumentere for valg af matematisk repræsentation.

Vidensmål

  • Eleven har viden om statistiske deskriptorer, diagrammer og digitale værktøjer, der kan behandle store datamængder.
  • Eleven har viden om metoder til undersøgelse af sammenhænge mellem datasæt, herunder med digitale værktøjer.
  • Eleven har viden om afsender og modtager forhold i faglig kommunikation.
  • Eleven har viden om muligheder og begrænsninger ved forskellige hjælpemidler.

Andre statistiske deskriptorer

5.9 Hvad er deskriptorer


Hvad er deskriptorer

Hvad er deskriptorer

Du har allerede lært om nogle deskriptorer, nemlig hyppighed, frekvens og summeret frekvens. Det engelske ord “describe” betyder “beskrive”. Deskriptorer er altså navnet for størrelser, der beskriver et observationssæt. Men der er nogle deskriptorer, du ikke har lære om endnu nemlig:

5.10 Typeobservation


Typeobservationen

Typeobservationen

Typeobservationen er den observation, der er flest af. Det er nemt at se i en hyppighedstabel, da typeobservationen er den observation, hvor hyppigheden er størst.

5.11 Største-, mindsteværdi og variationsbredde


Største værdi, mindste værdi og varitationsbredde

Største værdi, mindste værdi og varitationsbredde

Største- og mindsteværdi kaldes også for maksimum og minimum og er angivet ved den største og mindste værdi i observationssættet.

Variationsbredden er angivet som forskellen mellem største- og mindsteværdien.

21,9 km – så langt kørte en ny personbil i gennemsnit på literen i 2014.

Det er 5,7 km længere end i 2007.

Kilde: Danmarks Statistik, Danmark i tal 2015

Klik her for at se mere om hvor langt biler kører på literen (Trafikstyrelsen)

5.12 Gennemsnit og middelværdi


Beregning af gennemsnit, middeltal eller middelværdi

Beregning af gennemsnit, middeltal eller middelværdi

Gennemsnit, middelværdi og middeltal er det samme. Hvis du for eksempel regner gennemsnitsalderen ud hjemme i din familie, så er det tal, du får, den alder, I hver især ville have, hvis I delte alle leveårene, så I var lige gamle.

At ordne rå data i en hyppighedstabel og tilbage igen.

At ordne rå data i en hyppighedstabel og tilbage igen.

Når man skal beregne gennemsnittet, er det nødvendigt at kunne oversætte mellem rå data til en hyppighedstabel og fra en hyppighedstabel til rå data.

Beregning af gennemsnit ud fra en hyppighedstabel

Beregning af gennemsnit ud fra en hyppighedstabel

 


Regn opgave 521 – 522
Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan vælge relevante deskriptorer og diagrammer til analyse af datasæt.
  • Eleven kan undersøge sammenhænge i omverdenen med datasæt.

Vidensmål

  • Eleven har viden om statistiske deskriptorer, diagrammer og digitale værktøjer, der kan behandle store datamængder.

Kvartilsæt og boksplot

5.13 Kvartilsæt for ikke grupperede observationer

Kvartilsæt for ugrupperede observationer

Kvartilsæt for ugrupperede observationer

At finde et kvartilsæt handler om at dele observationssættet i kvarte. Først halverer man observationssættet og finder den midterste værdi kaldet medianen, dernæst halverer man nederste halvdel af observationssættet og finder nedre kvartil, og endelig halverer man øverste halvdel af observationssættet og finder øvre kvartil.

Hvad er et kvartilsæt, og hvordan aflæses kvartilsættet i et trappediagram

Hvad er et kvartilsæt, og hvordan aflæses kvartilsættet i et trappediagram

Hvis man har tegnet et trappediagram, kan man også aflæse kvartilsættet på x-aksen i trappediagrammet ved indtegne vandrette linjer. For at finde medianen, tegnes en vandret linje ved y=50%, og der hvor linjen rammer trappen går man ned og aflæser medianen på x-aksen. På samme måde aflæses nedre kvartil ved hjælp af linjen y=25% og øvre kvartil ved y=75%.

Når man skal finde kvartilsættet, så handler det om, at man skal inddele observationerne i fire kvarter.

5.14 Boksplot

Tegn to boksplots for priser på jordbærbakker

Tegn to boksplots for priser på jordbærbakker

Boksplot bruges til sammenligning af to eller flere forskellige observationssæt. Nedenfor ses et boksplot. I et boksplot er observationerne inddelt i fire kvarte; altså 25%, 25%, 25% og 25% af observationerne. Det er nedre kvartil, median og øvre kvartil der inddeler observationerne i kvarter.

To boksplot for prisen for en bakke jordbær i midten af sæsonen og i 1. uge af sæsonen

To boksplot for prisen for en bakke jordbær i midten af sæsonen og i 1. uge af sæsonen. Klik på figuren for forstørrelse.


Læs og sammenlign to boksplots

Læs og sammenlign to boksplots

5.15 Boksplot på 3 måder i Geogebra

Man kan lave flotte boksplot i Geogebra, og man kan lave flere i samme figur og med samme tal-akse, så det er muligt at sammenligne dem. Men der er 3 forskellige måder, alt efter om man har:

  • De rå data (de behøver ikke at være i rækkefølge)
  • En hyppighedstabel
  • Kvartilsættet og største værdi og mindste værdi

Hvordan man tegner et boksplot i Geogebra

Hvordan man tegner et boksplot i Geogebra


Regn opgave 523 – 524
Regn opgave 525 – 526
Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan vælge relevante deskriptorer og diagrammer til analyse af datasæt.
  • Eleven kan undersøge sammenhænge i omverdenen med datasæt.
  • Eleven kan argumentere for valg af matematisk repræsentation.

Vidensmål

  • Eleven har viden om statistiske deskriptorer, diagrammer og digitale værktøjer, der kan behandle store datamængder.
  • Eleven har viden om metoder til undersøgelse af sammenhænge mellem datasæt, herunder med digitale værktøjer.
  • Eleven har viden om muligheder og begrænsninger ved forskellige hjælpemidler.

Geogebra og Excel vejledninger, ikke grupperede observationer

5.16 Statistik i Geogebra

Her kan du se en vejledning i, hvordan du skridt for skridt kan få lavet tabeller og diagrammer.

Det er nok en god idé, at have Geogebra installeret og følge med – måske med dit eget talmateriale.

At lægge hyppigheder sammen i en hyppighedstabel i Geogebra:
Hvordan lægges sammen i Geogebra

Hvordan lægges sammen i Geogebra

At beregne frekvens i decimaltal og i procent i Geogebra:
Hvordan beregnes frekvens i Geogebra

Hvordan beregnes frekvens i Geogebra

At tegne et søjlediagram i Geogebra:
Hvordan tegnes et søjlediagram i Geogebra

Hvordan tegnes et søjlediagram i Geogebra

At beregne gennemsnit og kvartilsæt i Geogebra:
Beregn middelværdi eller gennemsnit i Geogebra

Beregn middelværdi eller gennemsnit i Geogebra

At beregne den summerede frekvens i Geogebra:
Hvordan beregnes summeret frekvens i Geogebra

Hvordan beregnes summeret frekvens i Geogebra

At tegne et trappediagram i Geogebra:
Hvordan tegnes et trappediagram i Geogebra

Hvordan tegnes et trappediagram i Geogebra

5.17 Statistik i Excel

Her kan du se en vejledning i, hvordan du skridt for skridt kan få lavet en hyppighedstabel og få tegnet et søjlediagram. Det er nok en god idé, at følge med på din egen computer – måske med dit eget talmateriale.

Til trappediagram vil jeg anbefale Geogebra. Geogebra er gratis og fantastisk godt.

At lægge tal sammen i Excel:
Hvordan lægger man tak sammen i Excel

Hvordan lægger man tal sammen i Excel

At beregne frekvens ved anvendelse af $ i Excel:
Hvordan beregnes i Excel

Hvordan beregnes i Excel

At tegne et søjlediagram i Excel:
Hvordan laver man et søjlediagram i Excel

Hvordan tegner man et søjlediagram i Excel

Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan vælge relevante deskriptorer og diagrammer til analyse af datasæt.
  • Eleven kan argumentere for valg af matematisk repræsentation.

Vidensmål

  • Eleven har viden om statistiske deskriptorer, diagrammer og digitale værktøjer, der kan behandle store datamængder.
  • Eleven har viden om metoder til undersøgelse af sammenhænge mellem datasæt, herunder med digitale værktøjer.
  • Eleven har viden om muligheder og begrænsninger ved forskellige hjælpemidler.

Grupperede observationer

Gruppering, histogram og sumkurve

5.18 Gruppering og intervalstørrelser

Når man grupperer observationer, mister man oplysninger. Når man accepterer at miste informationer, så er det fordi, man får et bedre overblik ved at gruppere data.

Inddeling i intervalle for grupperede observationer

Inddeling i intervalle for grupperede observationer


Grupperede observationer: Hvad er nyt og hvad er som for ikke grupperede observationer

Grupperede observationer: Hvad er nyt i forhold til ikke grupperede observationer


Regn opgave 527
Regn opgave 528



Læg mærke til grupperingen af kvinder i forskellige aldersgrupper. Man har valgt intervaller af 5 år. Hvis man havde valgt større intervaller, så ville man miste information, men fået mere overskuelighed. Når der i figuren står 15-19 år, 20-24 år o.s.v. , betyder det [15;20[, [20;25[ o.s.v.

Kilde: Danmarks Statistik.

Klik på figuren for forstørrelse.
Kilde: Danmarks Statistik.

5.19 Gennemsnit, grupperede observationer


Gennemsnit for grupperede observationer

Gennemsnit for grupperede observationer


Regn opgave 529

5.20 Histogram, grupperede observationer


Histogram

Histogram

Du bør kunne tegne et histogram på papir, men det er selvfølgelig nemt at gøre i Geogebra. Her er en video, der viser, hvordan man tegner et histogram for grupperede observationer i Geogebra.

At tegne et histogram for grupperede observationer i Geogebra.

At tegne et histogram for grupperede observationer i Geogebra.


Regn opgave 530

 

5.21 Sammenligning af histogrammer

Sammenligning af histogrammer

Sammenligning af histogrammer

5.22 Sumkurve og summerede frekvenser

Summerede frekvenser

For at kunne tegne en sumkruve, skal man først udregne de summerede frekvenser.

Beregning af summerede frekvenser, hvilket er nødvendigt for at kunne tegne en sumkurve.

Beregning af summerede frekvenser, hvilket er nødvendigt for at kunne tegne en sumkurve.

Sumkurve

En sumkurve svarer lidt til et trappediagram, som du har lært at tegne tidligere. I en sumkurve forbindes punkter med skrå lige linjer, og ikke vandrette linjer som i trappediagrammet.

Tegning af en sumkurve uden brug af it hjælpemidler

Tegning af en sumkurve uden brug af it hjælpemidler


Fortolkning af en sumkurve

Fortolkning af sumkruve Ironman

Fortolkning af sumkruve Ironman


Sumkurve i Geogebra

Det er godt at kunne tegne en sumkurve på papiret, så man virkelig forstår hvad man gør, før man lærer det i Geogebra, men her kan du se, hvordan det gøres i Geogebra.

Hvordan man tegner en sumkurve i Geogebra

Hvordan man tegner en sumkurve i Geogebra


Regn opgave 531
Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan vælge relevante deskriptorer og diagrammer til analyse af datasæt.
  • Eleven kan undersøge sammenhænge i omverdenen med datasæt.
  • Eleven kan kritisk vurdere statistiske undersøgelser og præsentationer af data.
  • Eleven kan argumentere for valg af matematisk repræsentation.

Vidensmål

  • Eleven har viden om statistiske deskriptorer, diagrammer og digitale værktøjer, der kan behandle store datamængder.
  • Eleven har viden om metoder til undersøgelse af sammenhænge mellem datasæt, herunder med digitale værktøjer.
  • Eleven har viden om afsender og modtager forhold i faglig kommunikation.
  • Eleven har viden om muligheder og begrænsninger ved forskellige hjælpemidler.

Vurdering af statistiske undersøgelser

5.23 Metode og fejl i indsamling af data

Man indsamler data for at kunne sige noget om en population. Da det ofte er for omfattende at indsamle data om hele populationen, kan man i stede indsamle data om en delmængde af populationen. Det kaldes en stikprøve.

Statistik stikprøve population

Når man vælger en størrelse at undersøge, skal man overveje den måde, man vil lave undersøgelsen på.
Hvis jeg vil undersøge hvordan folk vil stemme til et folketingsvalg, så kan jeg ikke bare stille mig ned foran Netto i min by kl. 19 en fredag aften og udspørge folk, der kommer forbi, og så regne med at jeg får et rigtigt billede af, hvordan folk vil stemme på landsplan. Jeg skal nemlig sørge for, at jeg udspørger et repræsentativt udsnit af befolkningen.

“Hvis man sælger mange is på stranden, så dør mange børn i drukne ulykker.”

Man skulle så tro, at hvis man bare lod være at sælge is på stranden, så kunne man undgå drukneulykkerne.

Det er selvfølgelig ikke rigtigt. Her er en skjult variabel, nemlig at børn dør oftere i drukneulykker, når det er badesæson om sommeren, hvilket så tilfældigvis også falder sammen med, at man sælger mange is.

Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan undersøge sammenhænge i omverdenen med datasæt.
  • Eleven kan kritisk vurdere statistiske undersøgelser og præsentationer af data.
  • Eleven kan argumentere for valg af matematisk repræsentation.

Vidensmål

  • Eleven har viden om stikprøveundersøgelser og virkemidler i præsentation af data.
  • Eleven har viden om statistiske deskriptorer, diagrammer og digitale værktøjer, der kan behandle store datamængder.
  • Eleven har viden om afsender og modtager forhold i faglig kommunikation.