Grundlæggende sandsynlighed og kombinatorik

8.1 Grundlæggende om sandsynlighedsregning

Hændelser og sandsynligheder

Hændelser og sandsynligheder

En hændelse er en begivenhed, der kan ske, og som man gerne vil undersøge, men mange hændelser kan ikke forudsiges med sikkerhed. Det bedste vi kan sige er derfor, hvor sandsynligt det er, at hændelserne sker ved hjælp af sandsynlighedsregning.

Summen af sandsynlighederne for alle udfald er altid 1.

Summen af sandsynlighederne for alle udfald er altid 1.

Sandsynligheden er altid mellem 0 og 1, eller mellem 0% og 100%, hvis man regner i procent.

Teoretiske sandsynligheder

Teoretiske sandsynligheder

I sandsynlighedsregning er udfaldsrummet beskrevet ved alle de mulige udfald.

I et terning kast er udfaldsrummet U={1,2,3,4,5,6}

Aktivitet: Kast med terning

I skal lave et resultatskema og kaste med én terning i 5 forsøgsrunder.

I skal notere antallet af gange, terningen viser 1,2,3,4,5 og 6 øjne i hver af de 5 forsøgsrunder på 6 kast, 12 kast, 24 kast, 60 kast og 120 kast.

Bagefter skal I lave søjlediagrammer over de indsamlede data. I skal lave i alt 5 søjlediagrammer med resultaterne fra de 5 forsøg.

Sammenlign de 5 søjlediagrammerne. Hvad havde I forventet, og hvad skete der i virkeligheden?

Aktivitet: Kast med tændstiksæske

Hver gruppe skal have en tændstikæske. Navngiv alle siderne 1-6.

Opstil en hypotese for sandsynlighederne for hver af de 6 udfald.

Udfør eksperimentet, hvor I kaster tændstikæsken tilfældigt mindst 100 gange.

Noter antallet af de forskellige udfald 1-6.

Lav et søjlediagram over antallet af udfaldene 1-6.

Sammenlign med jeres hypotese. Havde I ret?


Regn opgave 801

8.2 Kombinatorik og tælletræer

Hvor mange måder man kan kombinere tøj

Hvor mange måder man kan kombinere tøj

Inden vi kommer for godt i gang med sandsynlighedsregningen, skal vi lige en omvej omkring kombinatorik.

For at beregne sandsynligheder, skal man nemlig kende antallet af alle kombinationsmuligheder.

Kombinatorik handler netop om at tælle, hvor mange måder noget kan sammensættes på – altså kombinationsmuligheder.

5 t-shirts, 3 par bukser og 2 par sko kan sammensættes på 5·3·2=30 måder.

Kombinatorik. Hvor mange mulige udfald ved kast med to terninger

Kombinatorik. Hvor mange mulige udfald ved kast med to terninger

Regn opgave 802 – 808
Regn opgave 809 – 811

8.3 Hændelser og gunstige udfald

Hændelser og gunstige udfald.

Hændelser og gunstige udfald.

Nå vi nu kender antallet af mulige udfald ved hjælp af kombinatorik, så kan vi bruge DEL/HEL til at bestemme sandsynligheder for hændelser.

DEL – altså delmængden – er antallet af de gunstige udfald. Et gunstigt udfald er et udfald, der muliggør hændelsen. Mens HEL er antallet af alle de mulige udfald.

Eksempel:

Hændelse ved to terning kast: Summen af øjnene er 5.

DEL=4 nemlig antallet af de gunstige udfald: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2).

HEL=36 nemlig antallet af alle de mulige udfald, som ifølge kombinatorikken er 6·6=36

Altså er sandsynligheden for, at summen af øjnene er 5:  4/36 = 1/9


Summen af sandsynlighederne for alle udfald er altid 1.

Summen af sandsynlighederne for alle udfald er altid 1.


Sandsynlighed og roulette

Sandsynlighed og roulette


Regn opgave 812 – 813
Regn opgave 814 – 816

Hvad ved du om sandsynlighedsregning?


Kan du beregne sandsynligheder?


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan anvende udfaldsrum og tællemåder til at forbinde sandsynligheder med tal.
  • Eleven kan anvende sandsynlighedsregning.

Vidensmål

  • Eleven har viden om udfaldsrum og tællemåder.
  • Eleven har viden om statistisk og teoretisk sandsynlighed.