Graf og forskrift for en lineær funktion

6.1 Hvad kendetegner en lineær funktion

Du har allerede mødt lineære funktioner måske bare uden helt at vide det.

Når en pris vokser med det samme beløb hele tiden, så er der tale om en lineær funktion.

Hver guldfisk koster 10 kroner, så for hver guldfisk man køber, stiger prisen hver gang med 10 kr.

Det er en voksende lineær funktion.

Hvornår vokser noget lineært

Hvornår vokser noget lineært

Den værdi, der vokser eller aftager, kaldes ofte for y. I eksemplet med guldfisken fra før kaldes “den samlede pris” for y, og “antal guldfisk” kaldes for x.

Når y vokser eller aftager med den samme værdi hele tiden, så får man en ret linje, når man tegner grafen for funktionen.

Forklaring for, at grafen for en lineær funktion er en ret linje.

Forklaring for, at grafen for en lineær funktion er en ret linje.


Regn opgave 601 – 603
Regn opgave 604

6.2 At opstille en forskrift

En lineær funktion har en forskrift, og det har du sikkert allerede regnet med mange gange før, for hvordan vil du beregne prisen for at sende 100 SMS’er, når du har et abonnement, der koster 9 kr., og det koster 0,12 kr at sende én SMS?

Tøser mobiltelefoner 300_200

Jo, prisen for 100 SMS’er er

0,12 kr. · 100 = 12 kr.

og hertil skal lægges de 9 kr til, som det koster i abonnement

0,12 · 100 + 9 = 21

Hvis man i stedet for vil beregne prisen for x SMS’er fås:

0,12 · x + 9 = y

hvor x er antallet af SMS’er og y er prisen.

Det kaldes en forskrift for en lineær funktion.

To lineære sammenhænge

Forskrift 3 eksempler

Eksempel på lineær sammenhæng og funktionens forskrift

Eksempel på lineær sammenhæng og funktionens forskrift


Regn opgave 607 – 609
Regn opgave 610 + 609

6.3 Tabel og graf for en lineær funktion

Nu har du set et eksempel på en lineær sammenhæng i eksemplet med prisen og antallet af sendte SMS’er. Nu skal du se, hvordan man kan tegne en graf i et koordinatsystem for sådan en lineær sammenhæng.

SMS abonnement. Lav tabel og tegn graf

SMS abonnement. Lav tabel og tegn graf

Grafen for en lineær funktion er en ret linje, men den har som regel en hældning opad eller nedad.

Man kan sætte et tal på grafens hældning og kalde det hældningstallet. For hældningstallet bruges bogstavet a.

Hvis grafen hælder opad, så er hældningstallet positivt. Dvs. a>0.

Hvis grafen hælder nedad, så er hældningstallet negativt. Dvs. a<0. [caption id="attachment_3400" align="alignnone" width="300"]Om at bestemme hældningstallet ved hjælp af grafen. Om at bestemme hældningstallet ved hjælp af grafen.[/caption]

Nu har du set, hvad hældningstallet betyder for grafens udseende. Nu skal du selv i gang med at tegne grafer.

Aktivitet: Undersøg en graf for den lineære funktion

Nu skal I tegne graferne for nogle lineære funktioner, men se endelig videoen nedenfor først.

Undersøg, hvad det betyder for grafens udseende, at I ændrer tallene, men pas på, ifølge den naturvidenskabelige metode må man kun ændre ét tal ad gangen.


Skriv ned, hvad I finder ud af.

  • y = 2x + 5
  • y = 2x + 2
  • y = 2x – 5
  • y =  2x + 5
  • y = -2x + 5
  • y = 6x + 5
Hvordan tegnes en graf hvis man kender forskriften

Hvordan tegnes en graf hvis man kender forskriften


Regn opgave 612 – 614
Regn opgave 615 – 617

Hvad ved du om grafer for lineære sammenhænge?


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan anvende lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer.

Vidensmål

  • Eleven har viden om repræsentationer for lineære funktioner.

Aktivitet: Afbrænding af lys

Når et stearin-lys hele tiden brænder lige meget stearin hvert minut, så taber stearin-lyset hvert minut lige meget masse. Det kalder vi et vægttab.


Vægttabet vokser konstant, så der er altså tale om en lineær funktion.

Nu skal I prøve at tegne grafen for den lineære funktion, hvor vægten, af den stearin der brænder væk, afsættes på y aksen, og tiden målt i minutter afsættes på  x-aksen.

Se videoen:

Hvordan tegner man en graf på papir

Hvordan tegner man en graf på papir

Stands videoen nedenfor 5-7 gange hvor forsøget gennemføres, og skriv tid og vægttab ned i en tabel.


Tegn derefter de 5-7 punkter ind i et koordinatsystem, hvor x er tid i minutter og y er vægttabet, og tegn grafen for funktionen.

Aktivitet: Tegn en graf i et koordinatsystem

Aktivitet: Tegn en graf i et koordinatsystem


Nedenfor kan du se den graf jeg fik tegnet i Geogebra. En ret linje.

6.4 Konstanter og variable

Forskrift for lineær funktion. Variablerne (x og y) og konstanterne (a og b).

Forskrift for lineær funktion. Variablerne (x og y) og konstanterne (a og b).

Vi kan ikke ændre på, at det koster 12 øre at sende en SMS eller på de 9 kr. i abonnement. Derfor kaldes de to størrelser for konstanter.

En konstant kan ikke ændres. Konstanterne har bogstaverne a og b.

Det vi KAN ændre derimod, er antallet af SMS’er vi sender, som vi kalder x.

Vi kan dermed også ændre prisen på mobilregningen, som vi kalder y.

x og y er variable. Det er størrelser, der kan variere – altså ændre sig.

Regn opgave 618
Regn opgave 619

6.5 Et eksempel – en Tysklandstur

Hvis det koster 140 kr. at komme med bus ned til de tyske grænsebutikker, og matadormix koster 30 kr. per kilo i Tyskland, hvilken sammenhæng gælder så mellem antal kilo matadormix man køber, x,  og så den samlede udgift for slik og rejse ,y ?

Forskrift og en tysklandstur

Forskrift og en tysklandstur

Hvordan tegnes grafen for denne sammenhæng, altså antal kilo matadormix ud ad x-aksen og den samlede udgift til slik og rejse ud ad y-aksen ?

Grafen for en lineær funktion og en tysklandstur

Grafen for en lineær funktion og en tysklandstur


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan afgrænse problemstillinger fra omverdenen i forbindelse med opstilling af en matematisk model.
  • Eleven kan anvende lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer.

Vidensmål

  • Eleven har viden om strukturering og afgrænsning af problemstillinger fra omverdenen.
  • Eleven har viden om kriterier til vurdering af matematiske modeller.
  • Eleven har viden om repræsentationer for lineære funktioner.

6.6 Matematik i fysik/kemi eller omvendt

Følgende er oplagt som et samarbejde mellem matematik og fysik/kemi.

Aktivitet: Vand og sprits massefylde

Nu skal I lave en øvelse i fysik/kemi, hvor I skal måle sammenhørende værdier for rumfang og vægt for henholdsvis vand og sprit.

På den måde kan man faktisk finde massefylden af sprit og vand.

Selv hvis du ikke vælger at lave forsøgene, så kan du stadig lære meget af at se videoerne om forsøgets udførelse samt om efterbehandling i Excel eller Geogebra.

Aktivitet: Find massefylden af vand vha. graf-tegning.

Aktivitet: Find massefylden af vand vha. graf-tegning.


Aktivitet: Fremgangsmåde

Aktivitet: Find massefylden af sprit ved hjælp af graf-tegning.

Når I har lavet øvelserne, så starter matematikken – og denne gang kan I vælge at lave talbehandlingen i Excel eller Geogebra – med min hjælp selvfølgelig.

Jeg har lavet vejledninger til at tegne grafer i både Excel og Geogebra, så I vælger selv, hvad I foretrækker.

Se vejledningsvideoerne, hvorefter I skal:

  • Efterbehandle jeres data i Excel eller Geogebra.
  • Finde hældningstallene for både sprit og vand, hvorved I finder massefylde for sprit og vand.

Excel: Hvordan tegnes to grafer i samme koordinatsystem?

Videoen viser dig step by step, hvordan du behandler dine data fra fysik/kemi øvelsen.


Efterbehandling i Excel af sprit og vand forsøg

Efterbehandling i Excel af sprit og vand forsøg.


Geogebra: Hvordan tegnes to grafer i samme koordinatsystem?

Videoen viser dig step by step, hvordan du behandler dine data fra fysik/kemi øvelsen.


Efterbehandling i Geogebra af sprit og vand forsøg.

Efterbehandling i Geogebra af sprit og vand forsøg.

Figuren viser graferne fra mit forsøg. Klik på billede for at forstørre.

Figuren viser graferne fra mit forsøg. Klik på billede for at forstørre.

6.7 Vurdering af den lineære model

Måske har du lagt mærke til, at ikke alle punkterne lå på linjen, du fik tegnet. Mine punkter for afbrænding af stearin lå i hvert fald ikke lige på linjen og heller ikke i sprit/vand forsøget.

Sådan er det næsten altid i den virkelige verden, at der er usikkerheder, der gør, at det kun tilnærmelsesvis bliver en ret linje. Derfor er det også vigtigt at få lavet mange måle punkter, så man kan få tegnet det, man kalder “den bedste rette linje”.


Læringsmål


Færdighedsmål

  • Eleven kan afgrænse problemstillinger fra omverdenen i forbindelse med opstilling af en matematisk model.
  • Eleven kan gennemføre modelleringsprocesser, herunder med inddragelse af digital simulering.
  • Eleven kan vurdere matematiske modeller.
  • Eleven kan anvende lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer.

Vidensmål

  • Eleven har viden om strukturering og afgrænsning af problemstillinger fra omverdenen.
  • Eleven har viden om elementer i modelleringsprocesser og digitale værktøjer, der kan understøtte simuleringer.
  • Eleven har viden om kriterier til vurdering af matematiske modeller.
  • Eleven har viden om repræsentationer for lineære funktioner.